IMO SL 2012 N1

Đề bài:
Một tập $A$ các số nguyên là "tốt" nếu thỏa mãn tính chất: $x,y\in A\Rightarrow x^2+kxy+y^2\in A,\forall k\in\mathbb{Z}$.
Tìm tất cả các cặp $(m,n)$ khác 0 sao cho nếu $m,n\in A$ và $A$ là tập "tốt" thì $A=\mathbb{Z}$.

Lời giải:
Nếu $\gcd (m,n)=d>1$ thì ta có tập $A=kd,k\in\mathbb{Z}$ là tập "tốt" mà $A\ne\mathbb{Z}$
Ta sẽ chứng minh nếu $\gcd (m,n)=1$, $m,n\in A$ và $A$ là tập "tốt" thì $A=\mathbb{Z}$.
Nhận xét:
$(i)$: $kx^2\in A,\forall x\in A, k\in\mathbb{Z}$
$(ii)$: $(x+y)^2\in A,\forall x,y\in A$
Vì $\gcd (m,n)=1 \Rightarrow \gcd(m^2,n^2)=1$
Theo định lý Bezout thì $\exists a,b\in\mathbb{Z}$ sao cho $am^2+bn^2=1$.
Từ $(i)$ suy ra: $am^2,bn^2\in A$.
Từ $(ii)$ suy ra: $1=(am^2+bn^2)^2\in A$.
Từ $(i)$ suy ra: $k\in A,\forall k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow A=\mathbb{Z}$.
Vậy các cặp $(m,n)$ cần tìm thỏa mãn: $\gcd (m,n)=1$