$f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

Đề bài:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}^+$ thỏa mãn:
$\qquad\qquad f(f(x)+y)=xf(1+xy),\forall x,y>0$

Lời giải:
Giả sử tồn tại $0<u<v$ thỏa mãn $f(u)<f(v)$. Đặt: $\displaystyle w=\frac{vf(v)-uf(u)}{v-u}$
Khi đó, $w>f(v)>f(u)$ vì $\displaystyle w-f(v)=\frac{u(f(v)-f(u))}{v-u}$
Thay $x=u,y=w-f(u)$ và $x=v;y=w-f(v)$, ta được:
$\displaystyle f(w)=f(f(u)+w-f(u))=uf(1+u(w-f(u)))=uf\left(1+\frac{uv(f(v)-f(u))}{v-u}\right)$
$\displaystyle f(w)=f(f(v)+w-f(v))=vf(1+v(w-f(v)))=vf\left(1+\frac{uv(f(v)-f(u))}{v-u}\right)$
Điều này vô lý vì $u\ne v$, nên với mọi $0<u<v$ thì $f(u)\ge f(v)$.
Giả sử $f(1)\ne1$.
Thay $x=1$ vào phương trình đã cho ta được: $f(f(1)+y)=f(1+y)$
do đó $f(u+|f(1)-1|)=f(u)$, với mọi $u>1$.
Suy ra $f$ tuần hoàn trên $(1;+\infty)$.
Mà $f$ đơn điệu nên $f$ là hàm hằng trên $(1;+\infty)$, vô lý.
Vậy ta có: $f(1)=1$.
Với $a>1$, thay $\displaystyle x=a,y=1-\frac{1}{a}$ ta được: $\displaystyle f\left(f(a)-\frac{1}{a}+1\right)=af(a)$
Nếu $\displaystyle f(a)>\frac{1}{a}$ suy ra: $\displaystyle af(a)=f\left(f(a)-\frac{1}{a}+1\right)\le f(1)=1$, vô lý.
Tương tự cho trường hợp: $\displaystyle f(a)<\frac{1}{a}$. Suy ra: $\displaystyle f(a)=\frac{1}{a};\forall a>1$.
Thay $x>0$ tùy ý và $y=1$ ta có:
$\displaystyle \frac{1}{f(x)+1}=f(f(x)+1)=xf(1+x)=\frac{x}{1+x}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$, thỏa mãn.