IMO SL 2012 N1

Đề bài:
Một tập $A$ các số nguyên là "tốt" nếu thỏa mãn tính chất: $x,y\in A\Rightarrow x^2+kxy+y^2\in A,\forall k\in\mathbb{Z}$.
Tìm tất cả các cặp $(m,n)$ khác 0 sao cho nếu $m,n\in A$ và $A$ là tập "tốt" thì $A=\mathbb{Z}$.

EGMO 2013 problem 3

Đề bài:
Cho $n$ là một số nguyên dương.
a. Chúng minh rằng tồn tại tập $S\subset \mathbb{Z}^+$ với $|S|=6n$ sao cho bội chung nhỏ nhất của 2 phần tử bất kỳ của $S$ không lớn hơn $32n^2$.
b. Chứng minh rằng với mọi tập $T\subset \mathbb{Z}^+$ với $|S|=6n$ thì tồn tại 2 phần tử của $T$ có bội chung nhỏ nhất lớn hơn $9n^2$.

Bốc bi

Đề bài:

Trên bàn có 2 đống bi, đống thứ nhất có 2013 viên bi, đống thứ hai có 20132013 viên bi. A và B lần lượt bốc bi theo nguyên tắc sau: Mỗi lần được phép chọn 1 đống và bốc từ đống đó tối thiểu 1 viên và tối đa một nửa số bi trong đống. A là người bốc trước, đến lượt mình mà ai không thể thực hiện được nước đi là người thua cuộc. Hỏi ai là người có chiến thuật dành chiến thắng?

$f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

Đề bài:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}^+$ thỏa mãn:
$\qquad\qquad f(f(x)+y)=xf(1+xy),\forall x,y>0$

$f(x+y)+y\le f(f(f(x)))$

Đề bài:
Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
                      $f(x+y)+y\le f(f(f(x))),\forall x,y\in\mathbb{R}$

Dãy các số nguyên tố

Đề bài:
Cho dãy các số nguyên dương $x_1,x_2,\ldots$ với $x_1=a,a\in\mathbb{Z}^+$ và $x_{n+1}=2x_n+1, \forall n\ge1$. Đặt $y_n=2^{x_n}-1$.
Tìm giá trị lớn nhất của $k$ để tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho $y_1,y_2,\ldots,y_k$ đều là só nguyên tố.

Hệ có nghiệm duy nhất

Đề bài:
Cho $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R},\alpha\beta\gamma\ne0$. Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm duy nhất
$\qquad\quad\left\{\begin{array}{l}\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\xy+yz+zx=1\end{array}\right.\Leftrightarrow \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1=2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

$f(1)=1$

Đề bài:
Cho $\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ thỏa mãn: $f(f(f(1)))=1;f(f(f(2)))=3$.
Chứng minh rằng: $f(1)=1$

Các quả cân $n^2$

Đề bài:

Peter tiến hành chơi một trò chơi với cái cân đĩa như sau: Tại bước thứ $n$, Peter đặt 1 quả cân có trọng lượng $n^2$ lên một trong 2 đĩa cân.

a) Chứng minh rằng với mọi $k\in\mathbb{N}$, Peter có thể đặt các quả cân sau hữu hạn bước để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là $k$.

b) Tìm số bước nhỏ nhất cần thực hiện để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là 2010.

Tính định thức

Đề bài:
Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{i,j}=\gcd(i;j),\forall 1\le i,j\le n$.
Tính $\det A$.

$\varphi(n^2+1)=6n$

Đề bài:
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn: $\varphi(n^2+1)=6n$.

IMO 2013 problem 2

Đề bài:
Một tập hợp gồm đúng 4027 điểm trên mặt phẳng được gọi là tập Colombia nếu không có ba  điểm nào trong các điểm đó thẳng hàng, đồng thời có 2013 điểm được tô màu đỏ và 2014 điểm còn lại được tô màu xanh. Mặt phẳng được phân chia thành các miền khi ta kẻ một số đường thẳng. Một cách kẻ một số đường thẳng được gọi là cách kẻ tốt đối với tập Colombia cho trước nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: 
1. Không đường thẳng nào đi qua dù chỉ một điểm thuộc tập hợp đó; 
2. Không miền nào chứa cả điểm màu đỏ và điểm màu xanh. 
Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho với tập Colombia tùy ý gồm đúng 4027 điểm, tồn tại một cách kẻ $k$ đường thẳng là cách kẻ tốt.

BĐT với $a^2+b^2+c^2+1=2(ab+bc+ca)$

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+1=2(ab+bc+ca)$.
Chứng minh rằng: $3a+2b+6c\ge6$.

Tìm GTNN

Đề bài:
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\displaystyle S=\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4}+\frac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{ca+4}+\frac{\sqrt{c^2+ca+a^2}}{ab+4}$

BĐT 3 biến

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$.
Chứng minh rằng: $\displaystyle\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+6\ge\frac{3}{2}(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{a^2+c^2}{ac})$ 

BĐT với $ab+bc+ca=\sqrt2$

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=\sqrt2$.
Chúng minh rằng: $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\le\frac{1}{\sqrt{abc}}$

BĐT 6 biến

Đề bài:

Cho $a,b,c,d,e,f \in R$ sao cho $ab+bc+cd+de+ef\geq 1$. CMR:

$\displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 \geq \frac{1}{\cos \frac{\pi }{7}}$

BĐT với trung bình điều hòa

Đề bài:
Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ thỏa mãn: $a_1+a_2+\cdots+a_n=1.$
Đặt $\displaystyle H_k=\frac{k}{\displaystyle\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_k}}$ với $k=1,2,\cdots, n$.
Chứng minh rằng: $H_1+H_2+\cdots+H_n<2.$