Tìm GTNN

Đề bài:
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\displaystyle S=\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4}+\frac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{ca+4}+\frac{\sqrt{c^2+ca+a^2}}{ab+4}$

Lời giải:
Ta có:
$\displaystyle a^2+ab+b^2=\frac{3}{4}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a-b)^2\ge\frac{3}{4}(a+b)^2 \Rightarrow \sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\sqrt3}{2}(a+b)$
Suy ra:
$\displaystyle S\ge\sum\frac{\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}(a+b)}{\displaystyle\frac{(b+c)^2}{4}+4}=\frac{\sqrt3}{2}\sum\frac{x}{y^2+1}$
trong đó $\displaystyle x=\frac{a+b}{4},y=\frac{b+c}{4},z=\frac{x+z}{4}$
Khi đó: $x+y+z=3$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $\displaystyle \frac{x}{y^2+1}=x-\frac{xy^2}{y^2+1}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}$
Tương tự: $\displaystyle \frac{y}{z^2+1}\ge y-\frac{yz}{2},\frac{z}{x^2+1}\ge z-\frac{xz}{2}$
Suy ra: $\displaystyle S\ge\frac{\sqrt3}{2}(\sum x-\frac{1}{2}\sum xy)\ge\frac{\sqrt3}{2}\big(\sum x-\frac{1}{6}(\sum x)^2\big)=\frac{3\sqrt3}{4}$
Vậy $\min S=\frac{3\sqrt3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1 \Leftrightarrow a=b=c=2$