$f(x+y)+y\le f(f(f(x)))$

Đề bài:
Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
                      $f(x+y)+y\le f(f(f(x))),\forall x,y\in\mathbb{R}$

Lời giải:
Cho $z=x+y$, ta có:
      $f(z)+(z-x)\le f(f(f(x))) \Leftrightarrow f(z)+z\le f(f(f(x)))+x,\forall x,z\in\mathbb{R}$
Cho $z=f(f(x))$, ta có:
      $f(f(f(x)))+f(f(x))\le f(f(f(x)))+x \Leftrightarrow f(f(x))\le ,\forall x\in\mathbb{R}$
Thay $x$ bởi $f(x)$ ta có: $f(f(f(x)))\le f(x),\forall x\in\mathbb{R}$
Từ đó suy ra:
      $f(z)+z\le f(f(f(x)))+x\le f(x)+x,\forall x,z\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(x)+x=c, \forall x\in\mathbb{R}$.
Thử lại ta thấy hàm số: $f(x)\equiv c-x, c\in\mathbb{R}$ thỏa mãn bài toán.