Hệ có nghiệm duy nhất

Đề bài:
Cho $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R},\alpha\beta\gamma\ne0$. Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm duy nhất
$\qquad\quad\left\{\begin{array}{l}\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\xy+yz+zx=1\end{array}\right.\Leftrightarrow \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1=2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$


Lời giải:
*) Điều kiện cần:
Từ giả thiết suy ra: $\alpha x=1-\beta y-\gamma z$
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
$(y+z)(1-\beta y-\gamma z)+\alpha yz=\alpha \Leftrightarrow -\beta y^2+(1-\gamma z-\beta z+\alpha z)y+z-\gamma z^2-\alpha=0$
Hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta\le0,\forall z\\\Delta=0 \text{ có nghiệm duy nhất }\end{array}\right.\qquad(1)$
Ta có: $\Delta=(1-\gamma z-\beta z+\alpha z)^2+4\beta(z-\gamma z^2-\alpha)$
$\qquad\quad\;\;=(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha)z^2+2(\alpha+\beta-\gamma)z+1-4\alpha\beta$
$(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha<0\\(\alpha+\beta-\gamma)^2-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha)(1-4\alpha\beta)=0\end{array}\right.$
$\;\;\quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha<0\\4\alpha\beta(1+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha)=0\end{array}\right.$
$\;\;\quad \Leftrightarrow \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1=2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

*) Điều kiện đủ:
Với: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1=2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$ dễ dàng chứng minh được:
Hệ có nghiệm duy nhất: $(x;y;z)=(\beta+\gamma-\alpha;\alpha+\gamma-\beta;\alpha+\beta-\gamma)$