$f(1)=1$

Đề bài:
Cho $\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ thỏa mãn: $f(f(f(1)))=1;f(f(f(2)))=3$.
Chứng minh rằng: $f(1)=1$

Lời giải:
Nhận xét: $f(x)$ có nhiều nhất 2 điểm bất động hoặc $f(x)=x$ với mọi $x$ thuộc TXĐ.
Đặt: $F(x)=f(f(f(x)))$, suy ra $F(x)$ có nhiều nhất 2 điểm bất động vì $F(2)=3$.
Giả sử $f(1)\ne 1$, đặt: $a=f(1),b=f(a)$, suy ra: $f(b)=f(f(a))=f(f(f(1)))=1$.
Nếu $a=b$ thì $1=f(f(a))=f(f(b))=f(1)$, vô lý.
Nếu $b=1$ thì $1=f(b)=f(1)$, vô lý.
Suy ra: $a,b,1$ là các số thực phân biệt.
Ta có: $F(a)=F(f(1))=f(f(f(f(1))))=f(F(1))=f(1)=a$
$\qquad\; F(b)=F(f(a))=f(f(f(f(a))))=f(F(a))=f(a)=b$
suy ra: $a;b;1$ là 3 điểm bất động của $F(x)$, vô lý.
Vậy: $f(1)=1$.