Dãy các số nguyên tố

Đề bài:
Cho dãy các số nguyên dương $x_1,x_2,\ldots$ với $x_1=a,a\in\mathbb{Z}^+$ và $x_{n+1}=2x_n+1, \forall n\ge1$. Đặt $y_n=2^{x_n}-1$.
Tìm giá trị lớn nhất của $k$ để tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho $y_1,y_2,\ldots,y_k$ đều là só nguyên tố.

Lời giải:
Bổ đề: Nếu $y_i$ là số nguyên tố thì $x_i$ cũng là số nguyên tố.
Ta sẽ chứng minh: Trong 3 số $y_1,y_2,y_3$ tồn tại ít nhất 1 số là hợp số.
Thật vậy, giả sử tồn tại $a$ để $y_1,y_2,y_3$ đều là các số nguyên tố.
Khi đó, $x_1,x_2,x_3$ cũng là các số nguyên tố.
*) Nếu $x_1=2$, ta có: $y_1=3,y_2=31$ là các số nguyên tố nhưng$y_3$ là hợp số vì $y_3=2^{11}-1$ chia hết cho 23.
*) Nếu $x_1\ge3$, suy ra: $x_1\equiv1$ (mod 2) $\Rightarrow x_2\equiv 3$ (mod 4) $\Rightarrow x_3\equiv 7$ (mod 8).
$\Rightarrow$ 2 là thặng dư bình phương của $x_3$, hay tồn tại $s\in\mathbb{Z}$ sao cho $s^2\equiv 2$ (mod $x_3$).
Khi đó: $2^{x_2}=2^{(x_3-1)/2}\equiv s^{x_3-1}\equiv 1$ (mod $x_3$).
Suy ra: $x_3|y_2 \Rightarrow 2^{x_2}-1=y_2=x_3=2x_2+1$, vô lý vì $x_2>3$.
Vậy giá trị lớn nhất của $k$ thỏa mãn là: $k=2$.