$\varphi(n^2+1)=6n$

Đề bài:
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn: $\varphi(n^2+1)=6n$.

Lời giải:
Vì $n^2+1$ chia cho 4 dư 1 hoặc 2 nên $n^2+1$ không là lũy thừa của 2.
Vì $\displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right)=-1$, với mọi số nguyên tố có dạng $p=4k+3$ nên mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều có dạng $p=4k+1$.
Mà $\varphi(n^2+1)\,\vdots\, p-1$ nên $4\,|\,6n$, suy ra $n$ chẵn.
Nếu $n^2+1$ là số nguyên tố thì $6n=n^2 \Leftrightarrow n=6$, thỏa mãn.
Nếu $n^2+1$ không là số nguyên tố suy ra: $16\,|\,6n \Rightarrow 8\,|\,n$.
Nhận thấy $3\nmid m=n^2+1$.
Gọi $p_1;p_2;\ldots;p_k$ là các ước nguyên tố của $m$ thì $p_i\ge5,\forall i=\overline{1;k}$.
Ta có: $\displaystyle \varphi(m)=m\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\ge m\left(\frac{4}{5}\right)^k$.
Mà $m\ge 5^k$ suy ra $\displaystyle\left(\frac{5}{4}\right)^k<5^{k/4}\le m^{1/4}$.
Dẫn tới: $\displaystyle\varphi(m)>\frac{m}{m^{1/4}}=m^{3/4}$.
Từ đó: $\varphi(n^2+1)>(n^2+1)^{3/4}>n^{3/2} \Rightarrow 6n>n^{3/2} \Rightarrow n<36$.
Thử với $n\in\{8;16;24;32\}$ ta nhận được: $n=8$ thỏa mãn.
Vậy $n=6$ hoặc $n=8$.