Tính định thức

Đề bài:
Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{i,j}=\gcd(i;j),\forall 1\le i,j\le n$.
Tính $\det A$.

Lời giải:
Xét $X$ là ma trận vuông cấp $n$ với $x_{i,j}=e_{i,j}\sqrt{\varphi(j)}$, trong đó: $e_{i,j}=1$ nếu $j|i$ và $e_{i,j}=0$ trong các trường hợp còn lại.
Đặt: $B=XX^t$, với $X^t$ là ma trận chuyển của $X$.
Ta có: $\displaystyle b_{i,j}=\sum_{k=1}^n x_{i,k}x_{j,k}=\sum_{k|i,k|j}\varphi(k)=\sum_{k|\gcd(i;j)}\varphi(k)=\gcd(i;j)$
Suy ra: $A=B=XX^t$.
Nhận xét: $X$ là ma trận tam giác dưới và có các phần tử trên đường chéo chính là $\sqrt{\varphi(j)},j=\overline{1,n}$.
Ta có: $\displaystyle \det A=\det(XX^t)=(\det X)^2=\prod_{i=1}^n \varphi(i)$