Các quả cân $n^2$

Đề bài:

Peter tiến hành chơi một trò chơi với cái cân đĩa như sau: Tại bước thứ $n$, Peter đặt 1 quả cân có trọng lượng $n^2$ lên một trong 2 đĩa cân.

a) Chứng minh rằng với mọi $k\in\mathbb{N}$, Peter có thể đặt các quả cân sau hữu hạn bước để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là $k$.

b) Tìm số bước nhỏ nhất cần thực hiện để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là 2010.

Lời giải:

a) Ta có đẳng thức sau: $n^2+(n+3)^2-(n+1)^2-(n+2)^2=4$.

Nếu sau $n-1$ bước ta nhận được chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là $k$ thì ta có thể đặt các quả cân trong các bước tiếp theo để sau $n+3$ bước ta nhận được chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là $k+4$ hoặc $k-4$.

Như vậy, bài toán sẽ được giải quyết nếu ta chứng minh được Peter có thể đặt các quả cân sau hữu hạn bước để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là 0, 1, 2 hoặc 3.

·     Với $k=0$, hiển nhiên theo vị trí xuất phát.

·     Với $k=1$, ta có thể đạt được ngay sau bước đầu tiên.

·     Với $k=2$, ta có thể đạt được sau 4 bước vì ta có: $4^2-1^2-2^2-3^2=2$

·     Với $k=3$, ta có thể đạt được sau 2 bước vì ta có: $2^2-1^2=3$

b) Để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là 2010 thì tổng khối lượng của tất cả các quả cân phải lớn hơn hoặc bằng 2010 nên cần ít nhất 18 bước để thực hiện điều đó.

Tuy nhiên, với 18 bước, ta có 9 quả cân khối lượng lẻ và 9 quả cân có khối lượng chẵn hay tổng khối lượng tất cả các quả cân sẽ lẻ nên chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân sẽ phải là một số lẻ, vô lý.

Với 19 bước, ta có thể đặt các quả cân có khối lượng $1^2,2^2,15^2$ ở một bên đĩa cân, các quả cân còn lại ở bên đĩa cân còn lại là nhận được chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là 2010.

Vậy số bước nhỏ nhất cần thực hiện là 19 bước.