IMO SL 2012 N1

Đề bài:
Một tập $A$ các số nguyên là "tốt" nếu thỏa mãn tính chất: $x,y\in A\Rightarrow x^2+kxy+y^2\in A,\forall k\in\mathbb{Z}$.
Tìm tất cả các cặp $(m,n)$ khác 0 sao cho nếu $m,n\in A$ và $A$ là tập "tốt" thì $A=\mathbb{Z}$.

EGMO 2013 problem 3

Đề bài:
Cho $n$ là một số nguyên dương.
a. Chúng minh rằng tồn tại tập $S\subset \mathbb{Z}^+$ với $|S|=6n$ sao cho bội chung nhỏ nhất của 2 phần tử bất kỳ của $S$ không lớn hơn $32n^2$.
b. Chứng minh rằng với mọi tập $T\subset \mathbb{Z}^+$ với $|S|=6n$ thì tồn tại 2 phần tử của $T$ có bội chung nhỏ nhất lớn hơn $9n^2$.

Bốc bi

Đề bài:

Trên bàn có 2 đống bi, đống thứ nhất có 2013 viên bi, đống thứ hai có 20132013 viên bi. A và B lần lượt bốc bi theo nguyên tắc sau: Mỗi lần được phép chọn 1 đống và bốc từ đống đó tối thiểu 1 viên và tối đa một nửa số bi trong đống. A là người bốc trước, đến lượt mình mà ai không thể thực hiện được nước đi là người thua cuộc. Hỏi ai là người có chiến thuật dành chiến thắng?

$f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

Đề bài:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}^+$ thỏa mãn:
$\qquad\qquad f(f(x)+y)=xf(1+xy),\forall x,y>0$

$f(x+y)+y\le f(f(f(x)))$

Đề bài:
Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
                      $f(x+y)+y\le f(f(f(x))),\forall x,y\in\mathbb{R}$

Dãy các số nguyên tố

Đề bài:
Cho dãy các số nguyên dương $x_1,x_2,\ldots$ với $x_1=a,a\in\mathbb{Z}^+$ và $x_{n+1}=2x_n+1, \forall n\ge1$. Đặt $y_n=2^{x_n}-1$.
Tìm giá trị lớn nhất của $k$ để tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho $y_1,y_2,\ldots,y_k$ đều là só nguyên tố.

Hệ có nghiệm duy nhất

Đề bài:
Cho $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R},\alpha\beta\gamma\ne0$. Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm duy nhất
$\qquad\quad\left\{\begin{array}{l}\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\xy+yz+zx=1\end{array}\right.\Leftrightarrow \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1=2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

$f(1)=1$

Đề bài:
Cho $\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ thỏa mãn: $f(f(f(1)))=1;f(f(f(2)))=3$.
Chứng minh rằng: $f(1)=1$

Các quả cân $n^2$

Đề bài:

Peter tiến hành chơi một trò chơi với cái cân đĩa như sau: Tại bước thứ $n$, Peter đặt 1 quả cân có trọng lượng $n^2$ lên một trong 2 đĩa cân.

a) Chứng minh rằng với mọi $k\in\mathbb{N}$, Peter có thể đặt các quả cân sau hữu hạn bước để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là $k$.

b) Tìm số bước nhỏ nhất cần thực hiện để chênh lệch tổng khối lượng 2 đĩa cân là 2010.

Tính định thức

Đề bài:
Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{i,j}=\gcd(i;j),\forall 1\le i,j\le n$.
Tính $\det A$.

$\varphi(n^2+1)=6n$

Đề bài:
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn: $\varphi(n^2+1)=6n$.