Tập con 4 phần tử

Đề bài:
Cho $A$ là tập hợp có $n$ phần tử $(n\ge4)$ và $S$ là tập hợp các tập con có 4 phần tử của $A$. Gọi $T$ là tập hợp thỏa mãn: $T\subseteq S;\forall T_1,T_2\in T,|T_1\cap T_2|\le2$.
Chứng minh rằng tồn tại tập $M\subseteq A$ thỏa mãn $|M|>\sqrt[3]{6n};T_i\nsubseteq M,\forall T_i\in T$.

Điền số vào bảng vuông

Đề bài:
Điền vào các ô vuông của bảng vuông $3n\times 3n$ các số 0 và 1 sao cho với mỗi ô vuông chứa số 1 thì tổng của $6n-1$ số trên hàng và cột chứa ô vuông đó không vượt quá 2. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng.

$x_1x_2\ldots x_n>y_1y_2\ldots y_m$

Đề bài:
Cho 2 dãy các số nguyên dương $\{x_i\}_{i=1}^n$ và $\{y_i\}_{i=1}^m$ thỏa mãn:

• $1<x_1<x_2<\ldots<x_n<y_1<y_2<\ldots<y_m$
• $x_1+x_2+\ldots+x_n>y_1+y_2+\ldots+y_m$

Chứng minh rằng: $x_1x_2\ldots x_n>y_1y_2\ldots y_m$

Couple trên bảng vuông

Đề bài:
Cho $n$ là một số nguyên dương và bảng vuông $n\times n$. Mỗi đỉnh của hình vuông đơn vị được gọi là một "nút", mỗi đoạn thẳng nối 2 nút có độ dài đơn vị là cạnh của một hình vuông đơn vị được gọi là một "dây", hai dây được gọi là một "couple" nếu hai dây đó có một nút chung và vuông góc với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia $2n(n+1)$ dây trong bảng vuông đã cho thành $n(n+1)$ couple sao cho mỗi dây thuộc đúng một couple và không có nút nào cùng thuộc vào các dây nằm trong 2 couple phân biệt?

Biểu diễn $x^k$

Đề bài:
Cho $k$ là 1 số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $a_0;a_1;\ldots;a_{k-1}$ sao cho với mọi số nguyên dương $x$ ta có: $\displaystyle x^k=a_0\left(\begin{array}{l}x\\k\end{array}\right)+a_1\left(\begin{array}{l}x+1\\\quad k\end{array}\right)+\ldots+a_{k-1}\left(\begin{array}{l}x+k-1\\\quad\quad k\end{array}\right)$.
Quy ước: $\displaystyle \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right)=0$ nếu $k>n\ge0$

Phương trình nghiệm nguyên dương

Đề bài:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
                                                  $(x+y^2+z^2)^2-8xyz=1$

Bình phương số hữu tỷ

Đề bài:
Cho $x,y\in\mathbb{Q}$ thỏa mãn: $x^5+y^5=2x^2y^2$.
Chứng minh rằng: $1-xy$ là bình phương của một số hữu tỷ.