$x_1x_2\ldots x_n>y_1y_2\ldots y_m$

Đề bài:
Cho 2 dãy các số nguyên dương $\{x_i\}_{i=1}^n$ và $\{y_i\}_{i=1}^m$ thỏa mãn:

• $1<x_1<x_2<\ldots<x_n<y_1<y_2<\ldots<y_m$
• $x_1+x_2+\ldots+x_n>y_1+y_2+\ldots+y_m$

Chứng minh rằng: $x_1x_2\ldots x_n>y_1y_2\ldots y_m$

Lời giải:
Dễ thấy: $n>m$.
Với $m=1$, chứng minh bằng quy nạp ta được: $x_1x_2\ldots x_n>x_1+x_2+\ldots+x_n$, đpcm.
Với $m>1 \Rightarrow n>2 \Rightarrow x_n>4$.
Xét hàm $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$, nhận được $f(x)$ tăng trên $(1;e)$ và giảm trên $(e;+\infty)$.
Từ đó suy ra: $f(x_i)>f(x_n)>f(y_j),\forall 1\le i\le n-1;1\le j\le m$.
$\Rightarrow \ln x_i>f(x_n)x_i,\ln y_j<f(x_n)y_j, \forall 1\le i\le n-1;1\le j\le m$.
Khi đó ta có:
$\displaystyle\ln(x_1x_2\ldots x_n)=\sum_{i=1}^n ln(x_i)>f(x_n)\sum_{i=1}^n x_i>$
                              $\displaystyle >f(x_n)\sum_{j=1}^m y_j>\sum_{j=1}^m\ln(y_j)=\ln(y_1y_2\ldots y_m)$.
Dẫn tới: $x_1x_2\ldots x_n>y_1y_2\ldots y_m$.