Tập con 4 phần tử

Đề bài:
Cho $A$ là tập hợp có $n$ phần tử $(n\ge4)$ và $S$ là tập hợp các tập con có 4 phần tử của $A$. Gọi $T$ là tập hợp thỏa mãn: $T\subseteq S;\forall T_1,T_2\in T,|T_1\cap T_2|\le2$.
Chứng minh rằng tồn tại tập $M\subseteq A$ thỏa mãn $|M|>\sqrt[3]{6n};T_i\nsubseteq M,\forall T_i\in T$.
Lời giải:
Ta gọi $X\subseteq A$ là tập tốt nếu không có phần tử nào của $T$ là tập con của $X$.
Một tập con tốt của $A$ được gọi là lớn nhất nếu có không là tập con của bất kỳ tập tốt nào.
Gọi $M$ là tập con tốt lớn nhất của $A$ và $|M|=k$.
Từ đó, $\forall x\in A\backslash M$ thì $M\cup\{x\}$ không phải là tập tốt. Điều này có nghĩa là $x$ cùng với ba phần tử nào đó của $M$ sẽ tạo thành 1 phần tử của $T$. Ta gọi bộ ba phần tử như thế là $t(x)$.
Nếu $x\ne y\in A\backslash M$, thì các tập $T_1=t(x)\cup\{x\};T_2=t(y)\cup\{y\}$ đều thuộc $T$.
Rõ ràng $T_1\ne T_2$ và vì $|T_1\cap T_2|\le2$ nên $t(x)\ne t(y)$.
Bằng cách đếm các bộ ba $t(x)$, ta có: $\displaystyle n-k\le\left(\begin{array}{l}k\\3\end{array}\right)\Rightarrow k>\sqrt[3]{6n}$.